Định lý Noether

Đây có thể coi là định lý đẹp nhất của vật lý.

Định lý phát biểu như sau:

Đối với mỗi tính đối xứng của hàm Lagrange L(q,\dot{q}), tồn tại một đại lượng bảo toàn.

Ở đây, q=(q_1,q_2,...,q_N)

Tính đối xứng ở đây ám chỉ nếu ta thay đổi các tọa độ bởi một đại lượng nhỏ \epsilon  thì hàm Lagrange không thay đổi (bất biến, hàm Lagrange chỉ tính tới số hạng bậc nhất của đại lựong nhỏ này.)

Chứng minh:

giả sử với phép biến đổi : q_i \rightarrow q_i+ \epsilon K_i(q) làm cho hàm Lagrange không đổi, nghĩa là:

0=\frac{dL}{d\epsilon}=\sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \frac{\partial q_i}{\partial \epsilon} +\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \frac{\partial \dot{q_i}}{\partial \epsilon} \right)=\sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i}K_i +\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{K_i} \right)

Từ phương trình Euler-Lagrange ta có:

\frac{dL}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) =\frac{\partial L}{\partial q_i}

\Rightarrow 0=\sum_i \left(\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)K_i +\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{K_i} \right)=\sum_i \left(\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}K_i\right) \right)

Như vậy ta có:

0=\frac{d}{dt}\left(\sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}K_i\right) \right)

Đặt P_i(q,\dot{q})=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}K_i(q) ta có: P(q,\dot{q})=\sum_i P_i(q,\dot{q}), như vậy

\frac{dP(q,\dot{q})}{dt}=0 \Leftrightarrow P(q,\dot{q})=const


Số các đại lượng bảo toàn cơ sở ( đơn giản nhất) sẽ tương ứng với số “đối xứng cơ sở(đơn giản nhất)”, chẳng hạn với Lagrange

L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-mgz

Ta sẽ thấy phép dịch chuyển đối với x có dạng x \rightarrow x+c \epsilon với c là hằng số bất kỳ thì không hàm cho Lagrange biến đổi, tương tự cho y. Như vậy với Lagrange trên, có 2 đối xứng nên tương ứng với 2 đại lượng bảo toàn,( có thể tạm gọi là P_x,P_y)

Ta cũng có thể chọn phép biến đổi đồng thời, x \rightarrow x+c_1 \epsilon, y \rightarrow y+c_2 \epsilon ,z \rightarrow z cũng tạo ra một đại lượng bảo toàn nhưng nó là tổ hợp chập của 2 cơ sở trên.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

Up ↑

mlcvGru

Random thoughts on Machine Learning, Deep Learning and (sometimes) Computer Vision

LazyT

Góc nhỏ của Quyền

phanlan

we get what we give, sống là cho đi

Codeaholicguy

software engineer, team lead at #kobiton, blogger at @codeaholicguy

Maths 4 Physics & more...

Blog Toán Cao Cấp (M4Ps)

Vatlyvietnam's Blog

Thế Giới Song Song

Darren Wilkinson's research blog

Statistics, computing, data science, Bayes, stochastic modelling, systems biology and bioinformatics

Ông Xuân Hồng

Chia sẻ kiến thức và thông tin về Machine learning

Từ coder đến developer - Tôi đi code dạo

Lập trình viên giỏi không phải chỉ biết code

Computational Biology and Molecular Modelling

An interface between biology, chemistry and computer science

Moriator - I can do it!

Linux dễ dàng hơn bạn nghĩ!

VinaCode

Lập trình & Cuộc sống

Blog của Chiến

Học. Thực hành. Sáng tạo

Bespoke Blog

Science! Culture! Computational Engines!

Vuhavan's Blog

Just another WordPress.com weblog

%d bloggers like this: